Prof. Dr.-Ing. Paul Steinmann
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Lehrstuhl für Technische Mechanik

Prof. Dr. Ellen Kuhl
Stanford University
Department of Mechanical Engineering

Diffusion spielt in verschiedenen Gebieten der Ingenieur-, Material- und Naturwissenschaften sowie deren Schnittmengen eine hervorgehobene wissenschaftliche und technologische Rolle. Typische Beispiele sind die Modellierung und Simulation von Lötverbindungen, von Mikrostrukturentwicklung in modernen Materialien, wie sie etwa in Turbinenschaufeln verwendet werden, Mineralentmischungen in der Geologie, die Verteilung von Schadstoffen in ökologischen Systemen und Wirkstofftransport und –zuführung in biologischen Geweben. Als Ergebnis dieses Vorhabens wird eine Klärung der zugrundeliegenden mikromechanischen Ursachen der Diffusion für eine spezielle Klasse von Kontinuumsmodellen höherer Ordnung erwartet. Dies wird in verschiedenen Fachgebieten sowohl aus einer wissenschaftlichen als auch aus einer technologischen Sicht von Bedeutung sein. Insbesondere soll durch die Ergebnisse des Vorhabens das Design und das Verständnis von modernen Materialien erheblich unterstützt werden.

Abschlussbericht:

Aus dem Vorhaben sind zwei Veröffentlichungen [1,2] und ein genehmigtes DFG-Vorhaben entstanden.

In [1,2] wird eine Natural-Element Methode (NEM) zur Behandlung von höheren räumlichen Ableitungen in der Cahn-Hilliard Gleichung als dem Paradigma für nicht-klassische Diffusion vorgestellt. Die Cahn-Hilliard Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung vierter Ordnung, die es erlaubt, Phasenseparationen in binären Mischungen zu beschreiben. Übliche, klassische C₀-kontinuierlichen Finite-Element Lösungen sind hier nicht anwendbar, da die zugrundeliegende Variationsformulierung für Differentialoperatoren vierter Ordnung nur dann wohl-definiert und integrierbar sind, wenn die Finite-Element Ansatzfunktionen stückweise glatt und global C₁-kontinuierlich sind. Um C₁-Kontinuität zu gewährleisten, wurde daher ein Natural-Element basiertes räumliches Diskretisierungsschema entwickelt. Numerische Beispiele demonstrieren die Effizienz des Algorithmus, wobei sowohl periodische Dirichlet als auch homogene Neumann Randbedingungen angewendet werden. Darüber hinaus werden konstante und degenerierte Mobilitäten betrachtet. Es wird gezeigt, dass die Verwendung der C₁-kontinuierlichen Natural-Element Ansatzfunktionen die Berechnung von topologisch korrekten Lösungen auf beliebig geformten Gebieten ermöglicht.

[1] Rajagopal A., Fischer P., Kuhl E., Steinmann P., Natural Element Analysis of the Cahn-Hillard Phase-Field Model. Computational Mechanics 46, (2010), 471-494.

[2] Fischer P., Rajagopal A., Kuhl E., Steinmann P., Cahn-Hillard Generalized Diffusion Modeling using the Natural Element Method. In: Altenbach, Maugin, Erofeev, editors, Mechanics of Generalized Continua (2011) 326-336, Springer.

[3] STE 544-48: On the Formulation and the Micromechanical Origin of Non-Classical Models of Diffusion.